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GDS Eingangstest Numerik
Versuch 1
1
$$ Festpunkt(x) = 111001001; n = 4 $$
$$ Festpunkt(x) = 111001001 = -(1100.1001)_2 $$ $$ -(1100.1001)_2 = -1 * (2^3 + 2^2 + 2^{-1} + 2^{-4}) $$ $$ -(1100.1001)_2 = -1 * (8 + 4 + 1/2 + 1/16) $$ $$ -(1100.1001)_2 = -8 - 4 - 8/16 - 1/16 $$ $$ -(1100.1001)_2 = -12 - 9/16 $$ $$ -(1100.1001)2 = -(12.5625){10} $$
2
IEEE 754-2008, 16 bit, round to nearest - round to even
$$ f(x) = F(2, 11, -14, 15,true) $$
$$ f(1010001000110111) + f(0111000101101001) $$
die Aufgabenstellung:
vz | e | m |g|r|s
1 01000 1000 1101 11
+ 0 11100 0101 1010 01
Exzessberechnung
die Exzess enkodierten Zahlen $$ e(...)_2 $$ werden in Dezimalzahlen $$ _{dz}(x) $$ umgerechnet
$$ x + e = e(01000)_2 $$ $$ x = e(01000)_2 - e $$ $$ -x = e - e(01000)_2 $$
01111
- 01000
= 00111
$$ x = -(00111)_2 $$ $$ x = (00111)2 = -(7){10} $$
$$ y + e = e(11100)_2 $$ $$ y = e(11100)_2 - e $$
11100
- 01111
= 00101
$$ y = (00101)2 = (5){10} $$
Stellenunterschiedberechnung
der Stellenunterschied der zwei in der Aufgabenstellung gegebenen Exponenten
11100
- 01000
= 10100
beträgt
$$ (10100)2 = (20){10} $$
woraus sich folgende Rechnung ergibt:
vz | e | m |g|r|s
1 11100 0000 0000 00 0 0 0000 0000 0000 1101 11
+0 11100 0101 1010 01
= 0 11100 0101 1010 01
-0 11100 0000 0000 00 0 0 0000 0000 0000 1101 11
= 0 11100 0101 1010 01
nach jedem Rundungsschema
3
IEEE 754-2008, 16 bit, round to nearest - round to even
$$ f(x) = F(2, 11, -14, 15,true) $$
$$ f(1111010000010010) - f(1101000100001101) $$
die Aufgabenstellung:
vz | e | m |g|r|s
1 11101 0000 0100 10
-1 10100 0100 0011 01
der Stellenunterschied der zwei in der Aufgabenstellung gegebenen Exponenten
11101
- 10100
= 01001
beträgt
$$ (01001)2 = (9){10} $$
woraus sich folgende Rechnung ergibt:
vz | e | m |g|r|s
1 11101 0000 0100 10
-1 10100 0100 0011 01
= 1 11101 0000 0100 10
-1 11101 0000 0000 00 1 0 0 0011 01
= 1 11101 0000 0100 10
-1 11101 0000 0000 00 1 0 1
= 1 11101 0000 0100 10
-1 11101 0000 0000 00 1 0 1
= 1 11101 0000 0100 10
-1 11101 0000 0000 00
= 1 11101 0000 0011 11
das Ergebnis
$$ (1111010000010001)_2 $$
4
IEEE 754-2008, 16 bit, round to nearest - round to even
$$ f(x) = F(2, 11, -14, 15,true) $$
$$ f(1101001101111010) * f(0010100000100001) $$
die Aufgabenstellung:
vz | e | m |g|r|s
1 10100 1101 1110 10
*0 01010 0000 1000 01
gemeinsamer Exponent wird berechnet:
$$ e(10100)_2 - e + e(01010)_2 $$
$$ e(10100)_2 - e = $$
10100
-01111
= 00101
$$ e(10100)_2 - e + e(01010)_2 = $$
00101
+01010
= 01111
Probe:
11110
-01111
01111
Mantissenmultiplikation (ohne die implizite 1 zu vergessen!):
(1) 1101 1110 10 * (1) 0000 1000 01
1 1101 1110 1000 0000 0000
+ 0000 0000 0000 0000 0000
+ 000 0000 0000 0000 0000
+ 00 0000 0000 0000 0000
+ 0 0000 0000 0000 0000
+ 1110 1111 0100 0000
+ 000 0000 0000 0000
+ 00 0000 0000 0000
+ 0 0000 0000 0000
+ 0000 0000 0000
+ 111 0111 1010
=(1) 1110 0001 0000 1011 1010
das Vorzeichen wird geXORed, die Exponenten werden nach obigen Schema zusammengerechnet, und das Mantissenmultiplikationsergebnis abgeschrieben:
vz | e | m |g|r|s
1 10100 1101 1110 10
*0 01010 0000 1000 01
= 1 01111 1101 1110 10
*0 01111 0000 1000 01
= 1 01111 1110 0001 00 0 0 1 011 1010
= 1 01111 1110 0001 00 0 0 1
= 1 01111 1110 0001 00
das Ergebnis:
$$ (1011111110000100)_2 $$
5
$$ (10.011010)_2 $$
abrunden auf 3 Nachkommastellen (round min)
$$ (10.011)_2 $$
6
$$ (11.010001)_2 $$
optimal runden auf 3 Nachkommastellen (round to nearest - round away from zero)
$$ (11.010)_2 $$
7
$$ (10.101101)_2 $$
aufrunden auf 3 Nachkommastellen (round max)
$$ (10.110)_2 $$
7
$$ (10.011000)_2 $$
abschneiden ab 3 Nachkommastellen (truncate)
$$ (10.011)_2 $$